质数（2,3,5,7,11,13，...）
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质数
什么是素数？
质数列表
0是质数吗？
1是质数吗？
2是素数吗？
什么是素数？
质数是一个正自然数，只有两个正自然数除数-一个和它本身。
质数的相反是合成数。复合数是一个正营养数，具有除一个或自身以外的至少一个正除数。
根据定义，数字1不是质数-它只有一个除数。
数字0不是质数-它不是正数并且具有无数个除数。
数字15的因数为1,3,5,15，因为：
15/1 = 15
15/3 = 5
15/5 = 3
15/15 = 1
因此15不是素数。
数字13只有两个除数1,13。
13/1 = 13
13/13 = 1
因此13是质数。
质数表
质数最大为100的列表：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， ...
0是质数吗？
数字0不是质数。
零不是正数，并且具有无限大的除数。
1是质数吗？
根据定义，数字1不是质数。
一种是只有一个除数-本身。
2是素数吗？
数字2是质数。
两个具有2个自然数除数-1和2：
2/1 = 2
2/2 = 1
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49711 49727 49739 49741 49747 49757 49783 49787 4978949801 49807 49811 49823 49831 49843 49853 49871 49877 4989149919 49921 49927 49937 49939 49943 49957 49991 49993 49999相关猜想播报编辑（1）黎曼猜想。黎曼通过研究发现，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。复平面上使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点，这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。黎曼猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上，这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想，是解析数论的重要课题。（2）孪生素数猜想。如果p和p+2都是素数，那么就称他们为孪生素数。一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数。美国华人张益唐对这个问题的解决迈出了重要一步，他证明了有无穷多对差小于七千万的素数。之后大家不断改进他的证明，这个七千万已经缩小到246。（3）哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。记忆口诀播报编辑方法一：儿歌记忆法（一）（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （十九、二三、二十九） （三一、三七、四十一） （四三、四七、五十三） （五九、六一、六十七） （七一、七三、七十九） （八三、八九、九十七）方法二：儿歌记忆法（二）（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （还有十九别忘记） （二三，二九，三十一） （三七，四一，四十三） （四七，五三，五十九） （六一，六七，七十一） （七三，七九）（八三，八九）（九十七）方法三：口诀记忆法二，三，五，七，一十一； 一三，一九，一十七； 二三，二九，三十七； 三一，四一，四十七； 四三，五三，五十九； 六一，七一，六十七； 七三，八三，八十九； 再加七九，九十七； 25个质数不能少；百内质数心中记。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎
请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数论素数初等数论请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？本人不知道质数（素数）到底是什么，因数这些与它相关的数学术语也不知道。所以请通俗易懂地，尽可能简单地讲讲什么是质数，就如同跟小孩讲这个一样，谢谢。显示全部 关注者23被浏览68,516关注问题写回答邀请回答好问题 2添加评论分享17 个回答默认排序知乎用户数学话题下的优秀答主小学的时候经常会把一些弹力球啊弹珠之类的东西摆成特定的形状玩。比如10颗弹珠，我们可以把它们摆放成2×5的长方形，或者5×2的长方形。总之可以摆出长方形。但是有一些数目的弹珠没法摆成长方形，只能摆成长长的一行或一列。这样的数目我们叫做素数。发布于 2020-09-29 23:15赞同 462 条评论分享收藏喜欢收起何冬州杨巅杨艳华典生软件试用与测试 关注将自然数写成比它自己小的自然数的乘积，如果不能做到，那么它要么是0，要么是1，要么是质数。例如4=2*2，4可以写成比4小的数相乘，因此4不是素数。例如2，比2小的自然数有0和1，它们无论怎么相乘，得不到2，所以2是素数。再如3，比3小的自然数有0,1,2，它们无论怎么相乘，得不到3，所以3是素数。再如5，比5小的自然数有0,1,2,3,4，它们无论怎么相乘，得不到5，所以5是素数。关于0,1的特性，见后文说明。换个说法：一个自然数，如果它不是0，也不是1，它也不能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是质数。30以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29外一则：一个自然数，如果它能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是合数。30以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28合数分解成比它自己小的自然数的乘积举例：4=2*2=2^2，6=2*3，8=2*4=2*2*2=2^3，9=3*3=3^2，10=2*5，12=2*6=2*2*3=4*3=(2^2)*3，......综上，自然数可以分三类：{0,1}为一类，质数为一类，合数为一类。或者分四类：1，质数，合数，0{0,1}，0的乘法属性是吸收一切，是随自己的，0乘以任何数得0；1的乘法属性是奉献自我，是随他人的，1乘以谁就等于谁。它们的共性，0乘0等于他自己，1乘1等于他自己，可以称呼它们为幂循环数。质数，它不是1，它被1和它自己整除，不能被其它数整除。能整除它的数，只有1和它自己，只有这2个。我们说他的因数有2个。合数，除了能被1和它自己整除，还能被小于它的其它数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有有限个。我们说他的因数有多个。1只能被1整除，我们说他的因数只有1，同时也是它自己，它只有1个因数。0除了能被1和它自己整除，还能被其它任意自然数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有无限个。我们说他的因数有无数个（无限，无穷，无穷多个）。我个人有个提议：将0，1，素数称为准数，或分解基数，在考虑自然数的分解时，它们是基本的、基础的数。相关答题：何冬州杨巅杨艳华典生：为什么1不算素数？何冬州杨巅杨艳华典生：请通俗易懂地讲讲什么是素数(质数)?何冬州杨巅杨艳华典生：对于特定的正整数n，能拆成不同的n组两个素数之和的偶数有是否只有有限多个？以下为2021-8-10新增{质数和合数这两个词，是相对反义词。自然数={非质数也非合敢(幂循环数)0，1}+{质数2,3,57,11,13,...}+{合数4,6,8,9,10,12,...}我提议：自然数={准数(或称分解基数0,1这两个幂循环数，和所有质数)}+{合数4,6,8,9,10,12,...}补注：1曾经被归入质数，但为了保证质因数分解的有效性和唯一性，后来将他从质数中区别出来。0在某种意义上既有与合数相似的属性，我也曾想到把它归入合数里面。后来又发现，0也有与质数相似的属性(将它要写成因数分解的形式，必须有他自己存在)。同时我们发现，0与1有一种共性，就是他们的乘幂具有幂循环性(幂守性，幂模不变性，幂的绝对值不变性)：我们定义j具有幂循环性(幂守性)，是指j^n∈有限集合F(当n遍历自然数集时)。在自然数集上也可以称为幂等性，对应j=0,1，有限集合F={0},{1}；在(有理)整数集上，对应j=0,-1，有限集合F={0},{-1,1}；在高斯整数集{形如a+b√(-1)，(常常将√(-1)记作i)；a，b为有理整数}，对应j=0,√(-1)，有限集合F={0},{-i,-1,i,1}；在代数整数集上，...数的乘积分解，必须考虑到这种幂循环性。因此我们把幂循环数和质数合称为(积)分解基数，或者积准数，简称准数。8月13日新增：一、幂循环数：自然数范围内讨论：0的因数为任意自然数，即因子个数为∞个。1的因数只有1，即因子个数为1个。0的n≥1次方幂是0，1的n≥1次方幂是1，他们具有共性：幂等于它们自己。它们均归入 幂循环数。0以外的幂循环数称为幺数。幺数的概念扩展：如果一组幺数可以由一个幺数e的幂来生成，那么我们称这个幺数e为 本原幺数 或者 (本)母幺数，其他幺数为派生幺数。称这些幺数之间的关系为相伴。 如果一个数a=另外一个数b*幺数，我们也说a和b相伴。在整数范围内，1与-1均为幺数，其中-1是本原幺数。二、质数：自然数范围内讨论：因数个数=2个。质数概念扩展到整数范围：质数与它的相伴数，即质数*幺数=质数*{-1,1}，均称为质数，也可以称为正质数与负质数。更广的扩充：质数的相伴数我们均称为质数。但是为了保证质因数分解的唯一性，我们最好是将基本的质数和本母幺数称为分解基数或准数，称为数的准数因子分解的唯一性，或者质因数分解的相伴数归并意义上的唯一性。(这些用辞有待进一步的标准化和简化。)}编辑于 2021-08-13 18:17赞同 99 条评论分享收藏喜欢
怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎
怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册怎样优雅地判断一个数是不是质数？忘忧北萱草轻度自由。质数人类对数论的研究可以追溯到公元前，在数论研究的悠久历史中，质数是一个永恒的话题。对于质数的判定，也永远是一个迷人的问题。我们这样定义质数：如果自然数 p > 1 的因数只有1和它本身，那么 p 是质数。质数有很多美妙的性质，比如：如果一个数是质数，那么它是自然数。如果一个数是质数，那么它不是合数。如果一个数是质数，那么它大于等于2。相信我们聪明的读者不难证明这些性质。接下来，让我们进入正题：如何判定一个数是不是质数？入门版素数判定这种高深的数论问题，用一般的编程语言肯定难以优雅地实现。所以，我们必须使用 Wolfram Language 这样专门用于数学计算的语言，才能写出“出淤泥而不染，濯清涟而不妖”的美妙实现。你是素数吗 = PrimeQ;我们来看一个例子：这种纯粹的感觉，就像在QQ群里at你的同学一样自然！但是，我们不能沉溺于舒适区，要勇于面对自己，我们要前往混沌邪恶的 C++ 领域。初级版在进入这一章节之前，我们需要一些十分复杂的数论推导，不喜欢看公式的同学可以暂时跳过下面一小段。要判断一个数是不是质数，其实和判断一个数是不是合数没有太大区别。要判断一个数是合数，按照定义来看，只需要找到一个不是1和它本身的因数就可以。如果我们对一个数 n，找到了这样的因数 m，也就是 m 整除 n，此时一定会有 m \le n 。所以，我们只需要在 2~n-1 的范围内寻找 n 的因数就可以了。上面的推导中居然出现了整整一个公式！我这篇回答的读者要跑掉一半了！根据上面的数论推导，我们可以写出如下的质数判断程序：bool 你是质数吗(int n) {
if (n <= 1) return false;
for(int i = 2; i < n; ++i)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
在这里，我们约定负数和0不是质数。看 C++ 这混沌邪恶的语法，反人类的 for 循环，甚至连 bool 都只是语法糖，在输出的时候只能给出一个冷冰冰的 0 和 1，一点不考虑用户体验……高级版在上面的算法中，我们需要穷举2~n-1的所有整数。真的就没有改进方法了吗？在古希腊时期，有一位数学家叫埃拉托斯特尼，提出了一种方法，叫做埃拉托斯特尼筛法。埃拉托斯特尼筛法是非常经典的质数判定算法，在各种要求精确解的质数判定中，大多数都能见到埃拉托斯特尼筛法的影子。在这里，我必须多次重复埃拉托斯特尼这个长的要命的名字，以表达我对埃拉托斯特尼这位伟大先贤的崇高敬意。埃拉托斯特尼筛法的思想可以给我们很大的启发，埃拉托斯特尼筛法指导我们进一步缩小因数的搜索范围。为此，我们仍然需要更加复杂的数论推导。对于合数 n，我们可以证明它一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。这里的非平凡因数，指的是和1与他本身不同的因数。如果不是，那么它所有的非平凡因数都是大于 \sqrt{n} 的。我们任取其中一个和n不同的非平凡因数 m，那么存在整数 k 使 n=km，那么 k 也为 n 的非平凡因数，但是 k=\frac{n}{m}<\sqrt{n} ，矛盾。所以合数 n 一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。到现在为止我已经用了5个公式了！我的读者已经只剩1/32了！因此，我们只需要在2到 \left[ \sqrt{n} \right] 之间寻找 n 的因数。（这里的 \left[ x \right] 表示不超过 x 的最大整数。）不对，我怎么又用了两个公式……bool 你是质数吗(int n) {
if (n <= 1) return false;
for(int i = 2; i * i <= n; ++i)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
超极版我们刚才的算法都是按照质数的定义，去找一个数有没有因数，这种做法太 naive 了。那么，有没有什么能判定质数的高级定理呢？为了写这篇文章，我耗费了整整180秒上网查资料，找到了这么一个定理：威尔逊定理：对于自然数 p>1，p 是质数当且仅当 (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} 。我怎么又用了公式！还用了同余符号！我的读者会全跑掉的啊！按照上面的想法，我们只要求出 (p-1)!+1 除以 p 的余数，看看是不是0就好了。bool 你是质数吗(int n) {
if (n <= 1) return false;
int factor = 1;
for(int i = 2; i < n; ++i)
factor = ((long long)factor * i) % n;
factor = (factor + 1) % n;
return factor == 0;
}
等等，这个算法好像比上面两个都要慢啊！速度什么不重要，重要的是让别人知道了我们能熟练运用威尔逊定理这样高级的数论定理。还有，那个说在项目里这么写代码的会被人打死的站出bubyguoi;ohugkbvfdsvvgrt4u上D版上D与你同在感谢上D把我复活，我又能回来写文章了。刚才的方法，无一例外都是基于简单的数论原理，这种人工设计的算法难以发挥计算机真正的性能。我们要逃脱手工设计算法的桎梏，进入机器学习的神圣殿堂。于是我又花了整整200秒去查找资料，终于在一篇知乎回答中找到了实现方法：作者使用了端到端的双层 LSTM 网络，将数字转为字符串输入，在质数判定问题上进行了1分钟的训练，效果拔群。神经网络学会了“不管你输入啥只要我蒙合数总比蒙质数对的多”。按照这一思想，我们得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {
return false;
}
多么简洁的逻辑！机器学习让我们发现了世界的本质，就是大道至简！只要我们愿意舍弃那么一（亿）点点正确性，一切都是如此简单！撒D版欢迎来到D狱上D的算法没能给我们很大的帮助，但是这种思想给了我们一点启发：算法的能力是有极限的。我从短暂的 OI 生活当中学到一件事：越是玩弄优化，就越会发现算法被时间复杂度所限制……除非超越算法。你到底想说什么？我不做人了，JOJO！（划去）我不要精确度了！于是我们祭出了费马小定理：如果 p 是素数，那么有 a^p \equiv a \pmod p 。虽然费马小定理的逆命题是不成立的，但是不排除它在绝大多数情况下都是成立的。为了方便计算，取 a=2，于是我们又得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {
if (n <= 1) return false;
int t = 1, m = 2, p = n;
while(p) { // 快速幂取模
if (p % 2) t = ((long long)t * m) % n;
m = (m * m) % n;
p >>= 1;
}
t = (t - 2) % n;
return t == 0;
}
这个算法的速度相比之前的算法，完全不在一个数量级上，只是精确度稍微差了那么一（亿）点点。比如经典的卡迈克数561，它虽然是合数（561=3×11×17），但是会被这个算法判定为质数。但是，如果我们对这一算法进行一（亿）点点改进，就能得到大名鼎鼎的 Miller-Rabin 素性检验算法[1]。这一算法在费马小定理之外，还需要另一个更加复杂的数论定理：二次检验定理：对于质数 p，在0~p-1范围内，满足 x^2\equiv 1\pmod p 的整数只有 1 和 p-1。证明就留做习题吧。根据二次检验定理，对于一个整数 x，如果 x^2,x^4,x^8,\cdots 除以 n 的余数都不为1，那么 n 就很有可能是一个质数。然后我们再把费马小定理换个形式，如果 a^{n-1} 除以 n 的余数为1，那么 n 很可能是一个质数。接下来，就是撒D赐予我们的鬼才逻辑了。首先把 n-1 分解为 2^s\cdot t ，接着再把 a^t 不断平方，每平方一次，进行一次二次检验，这样平方 s 次之后，恰好就求出了 a^{n-1} 。int prime[10]={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
bool 你是质数吗(int n) {
if (n <= 1) return false;
if (n == 2) return true;
int s = 0, t = n - 1;
while (!(t % 2)) ++s, t >>= 1; // 求解 n-1=2^s*t
for (int i = 0; i < 10 && prime[i] < n; ++i) {
int a = prime[i];
int b = 1, m = a, p = t;
while (p) { //快速幂，求 b=a^t
if (p % 2) b = ((long long) b * m) % n;
m = ((long long)m * m) % n;
p >>= 1;
}
if (b == 1) continue;
for (int j = 1; j <= s; ++j) { // 进行 s 次二次检验
int k = ((long long)b * b) % n;
if(k == 1 && b != n-1) return false;
b = k;
}
if (b != 1) return false;
}
return true;
}
这里选取了前10个质数作为底，已经可以规避绝大多数的误检情况。最后的最后也许质数检验这一个问题并不像它看上去的那么简单。在它的背后，蕴含着深刻的数学原理。2002年，来自印度坎普尔理工学院的计算机科学家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，发表了论文 PRIMES is in P[2]，提出了第一个一般的、确定性的、不依赖未证明命题的多项式时间素数判定算法，作者们也因此获得了哥德尔奖和富尔克森奖。回观这篇文章中提到的算法，每一次进步都离不开跳出框架局囿的创新思考。要敢于打破那些固有认知中的限制。也许哪一天，用神经网络判别质数这样看起来根本不可能的想法，也会变成现实呢。参考^Hurd J. Verification of the Miller–Rabin probabilistic primality test[J]. The Journal of Logic and Algebraic Programming, 2003, 56(1-2): 3-21.^Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.发布于 2020-03-17 12:57初等数论素数数论赞同 27422 条评论分享喜欢收藏申请
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质数_百度百科
度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心质数[zhì shù]播报讨论上传视频数学概念收藏查看我的收藏0有用+10质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。中文名质数外文名prime number别 名素数讨论范围非0自然数定 义只有1和它本身两个因数的自然数反义词合数所属范围自然数目录1简介2性质3应用4编程▪基本判断思路▪代码▪素性检测▪筛素数法5猜想▪哥德巴赫猜想▪黎曼猜想▪孪生质数▪梅森质数简介播报编辑质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn。如果 为素数，则 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。性质播报编辑1、质数p的约数只有两个：1和p。2、算术基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。3、质数的个数是无限的。4、质数的个数公式 是不减函数。5、若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。6、若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。7、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。8、存在任意长度的素数等差数列 [1]。 9、任一充分大的偶数都可以表示成一个素数加一个素因子个数不超过2个的数的和，简称为“1+2”。 [2]。应用播报编辑质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。编程播报编辑基本判断思路在一般领域，对正整数n，如果用2到 之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。代码Python 代码：from math import sqrtdef is_prime(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return TrueJava代码：1.
public static boolean testIsPrime2(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
for(int i=2;i if(n%i == 0) return false; } return true; } /*优化后*/ public static boolean testIsPrime3(int n){ if (n <= 3) { return n > 1; } for(int i=2;i<=Math.sqrt(n);i++){ if(n%i == 0) return false; } return true; } 2. public class Prime { public static void main（String[] args） { int a = 17; //判断17是不是质数 int c = 0; for (int b = 2; b < a; b++) { if (a % b != 0) { c++; } } if (c == a - 2) { System.out.println(a + "是质数"); } else { System.out.println(a + "不是质数"); } } }Php代码：function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production if ($n <= 3) { return $n > 1; } else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) { return false; } else { for ($i = 5; $i * $i <= $n; $i += 6) { if ($n % $i === 0 || $n % （$i + 2) === 0） { return false; } } return true; } }C#代码：using System; namespace 计算质数 { class Program { static void Main(string[] args) { for (int i = 2,j=1; i < 2100000000&&j<=1000; i++)//输出21亿内的所有质数，j控制只输出1000个。 { if (st(i)) { Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i); j++; } } } static bool st(int n)//判断一个数n是否为质数 { int m = (int)Math.Sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++) { if(n%i==0 && i!=n) return false; } return true; } } } C代码：#include #include int main() { double x,y,i; int a,b; x = 3.0; do{ i = 2.0; do{ y = x / i; a = (int)y; if(y != a)//用于判断是否为整数 { if(i == x - 1) { b = (int)x; printf("%d\n",b); } } i++; }while(y != a); x++; }while(x <= 10000.0);//3到10000的素数 system("pause");//防止闪退 return 0; }C/C++代码：#include #include #include using namespace std; const long long size=100000;//修改size的数值以改变最终输出的大小 long long zhishu[size/2]; void work (){//主要程序 zhishu[1]=2; long long k=2; for(long long i=3;i<=size;i++){//枚举每个数 bool ok=1; for(long long j=1;j if(i%zhishu[j]==0){ ok=!ok; break; } } if（ok）{ zhishu[k]=i; cout<<"count"< k++; } } } int main（）{ freopen("zhishu.out","w",stdout); cout<<"count1 2"< work(); return 0; }bool isPrime(unsigned long n) { if (n <= 3) { return n > 1; } else if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) { return false; } else { for (unsigned short i = 5; i * i <= n; i += 6) { if (n % i == 0 || n % （i + 2） == 0) { return false; } } return true; } }Pascal代码：function su(a:longint):boolean; var begin if a=2 then exit(true) else for i:=2 to trunc(sqrt(a))+1 do if a mod i=0 then exit（false）; exit(true); end.Javascript代码：function isPrime(n) { if (n <= 3) { return n > 1; } if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) { return false; } for (var i = 5; i * i <= n; i ++) { if (n % i == 0 || n % (i + 1) == 0) { return false; } } return true; }Go代码：func isPrime(value int) bool { if value <= 3 { return value >= 2 } if value%2 == 0 || value%3 == 0 { return false } for i := 5; i*i <= value; i += 6 { if value%i == 0 || value%（i+2） == 0 { return false } } return true }Basic 代码Private Function IfPrime（ByVal x As Long） As Boolean Dim i As Long If x < 0 Then x = -x If x = 2 Then Return True If x = 1 Then Return True If x = 3 Then Return False If x = 0 Then MsgBox("error",,) Return False End If For i = 2 To Int(Sqrt(x)) Step 1 If x Mod i = 0 Then Return False Next i Return True End FunctionALGOL代码begin Boolean array a[2:100]; integer i,j; for i := 2 step 1 until 100 do a[i] := true; for i := 2 step 1 until 10 do if a[i] then for j := 2 step 1 until 1000÷i do a[i × j] := false; for i := 2 step 1 until 100 do if a[i] then print (i); end 素性检测素性检测一般用于数学或者加密学领域。用一定的算法来确定输入数是否是素数。不同于整数分解，素性测试一般不能得到输入数的素数因子，只说明输入数是否是素数。大整数的分解是一个计算难题，而素性测试是相对更为容易（其运行时间是输入数字大小的多项式关系）。有的素性测试证明输入数字是素数，而其他测试，比如米勒 - 拉宾（Miller–Rabin ）则是证明一个数字是合数。因此，后者可以称为合性测试。素性测试通常是概率测试（不能给出100%正确结果）。这些测试使用除输入数之外，从一些样本空间随机出去的数；通常，随机素性测试绝不会把素数误判为合数，但它有可能为把一个合数误判为素数。误差的概率可通过多次重复试验几个独立值a而减小；对于两种常用的测试中，对任何合数n，至少一半的a检测n的合性，所以k的重复可以减小误差概率最多到 ，可以通过增加k来使得误差尽量小。随机素性测试的基本结构：1、随机选取一个数字a。2、检测某个包含a和输入n的等式（与所使用的测试方法有关）。如果等式不成立，则n是合数，a作为n是合数的证据，测试完成。3、从1步骤重复整个过程直到达到所设定的精确程度。在几次或多次测试之后，如果n没有被判断为合数，那么可以说n可能是素数。常见的检测算法：费马素性检验（Fermat primality test），米勒拉宾测试（Miller–Rabin primality test） ，Solovay–Strassen测试，卢卡斯-莱默检验法（Lucas–Lehmer primality test）。筛素数法筛素数法可以比枚举法节约极大量的时间（定n为所求最大值，m为≤n的质数个数，那么枚举需要O（n^2）的时间复杂度，而筛素数法为O（m*n）,显然m< #include #include #include using namespace std; const long long size=1000000;//修改此值以改变要求到的最大值 bool zhishu[size+5]={false}; int main（）{ freopen（"zhishu.out","w",stdout）;//输出答案至“筛质数（shaizhishu）.exe”所在文件夹内 zhishu[2]=true; for（long long i=3;i<=size;i+=2）zhishu[i]=true;//所有奇数标为true，偶数为false for（long long i=3;i<=size;i++）{ if（zhishu[i]）{//如果i是质数 int cnt=2; while（cnt*i<=size）{//把i的倍数标为false（因为它们是合数） zhishu[cnt*i]=false; cnt++; } } } int cnt=1; for（int i=2;i<=size;i++）{//全部遍历一遍 if（zhishu[i]）{//如果仍然标记为true（是质数）则输出 cout< cnt++; } } return 0; } /* 样例输出结果，第一个数是个数，第二个是第几个质数 1 2 2 3 3 5 4 7 5 11 6 13 7 17 8 19 9 23 10 29 11 31 12 37 13 41 14 43 15 47 16 53 17 59 18 61 19 67 20 71 21 73 22 79 23 83 24 89 25 97 */筛选法的Java实现，如下：/** * @title SOE * @desc 简单的埃氏筛选法计算素数 * @author he11o * @date 2016年5月3日 * @version 1.0 */ public class SOE { public static int calPrime（int n）{ if（n<=1）{ return 0; } byte[] origin = new byte[n+1]; int count = 0; for（int i=2;i if（origin[i] == 0）{ count++; int k = 2; while（i*k<=n）{ origin[i*k] = 1; k++; } }else{ continue; } } return count; } }采用简单的埃氏筛选法和简单的开方判断素数法计算1000000以内素数的个数的效率比较：StopWatch '计算1000000以内素数的个数': running time （millis） = 268-----------------------------------------ms % Task name-----------------------------------------00024 009% 简单的埃氏筛选法；00244 091% 简单的开方判断素数法。猜想播报编辑哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？是否有无穷多个的梅森素数？在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？是否存在无穷个形式如X2+1素数？黎曼猜想 [2]哥德巴赫猜想在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成两个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。2013年，秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在巴黎高等师范学院宣称：证明了一个“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。黎曼猜想黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ（s）非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re（s）=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res（s） = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。孪生质数1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。2013年5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。 [3]梅森质数17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2p-1 中的p是质数时，2p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。梅森去世250年后，美国数学家科尔证明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000 为什么二是质数，我感觉它好委屈啊？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数论数字趣味数学素数为什么二是质数，我感觉它好委屈啊？质数定义为“除了一和它本身没有其他因子的正整数（除了1）”。 1不论，很特殊很特殊，不是合数也不是质数，acceptable吧。 但是，2啊！从定义上…显示全部 关注者965被浏览1,656,689关注问题写回答邀请回答好问题 161115 条评论分享307 个回答默认排序北方北方北悲观主义冷血者的心，逃不过冻结的最终宿命。 关注有没有一种可能，就是说，其他偶数就是因为2才当不了质数。发布于 2022-05-20 23:14赞同 9972132 条评论分享收藏喜欢收起风君子计算机 / 游戏开发 / 卖萌是啥喵? 关注它委屈个屁，就因为它全世界其他偶数全都当不上质数了！发布于 2023-03-11 11:55赞同 1.3 万261 条评论分享收藏喜欢 百度知道 - 信息提示 百度首页 商城 注册 登录 网页 资讯 视频 图片 知道 文库 贴吧采购 地图更多 搜索答案 我要提问 百度知道>提示信息 知道宝贝找不到问题了>_ 该问题可能已经失效。返回首页 15秒以后自动返回 帮助 | 意见反馈 | 投诉举报 京ICP证030173号-1 京网文【2023】1034-029号 ©2024Baidu 使用百度前必读 | 知道协议 质数表-质数计算器-质数查询 质数表 什么是质数 质数又称素数，大于1且只能被1和自身整除的自然数（即正整数）为质数。0和1不是质数，最小质数是2，没有最大质数，质数有无限个，目前发现的最大质数是梅森素数2^74207281-1（被称为M74207281）。 质数计算器 质数计算器可以快速方便的查询一个数字是否为质数，查询数字范围：2-9999999999。 查询 质数表大全 50以内的质数表 50以内的质数共有15个，分别是： 23571113171923293137414347 50-100以内的质数表 100以内的质数共有25个，其中50-100以内的质数共有10个，分别是： 53596167717379838997 100-200以内的质数表 200以内的质数共有46个，其中100-200以内的质数共有21个，分别是： 101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199 200-300以内的质数表 300以内的质数共有62个，其中200-300以内的质数共有16个，分别是： 211223227229233239241251257263269271277281283293 300-500以内的质数表 500以内的质数共有95个，其中300-500以内的质数共有33个，分别是： 307311313317331337347349353359367373379383389397401409419421431433439443449457461463467479487491499 500-1000以内的质数表 1000以内的质数共有168个，其中500-1000以内的质数共有73个，分别是： 503509521523541547557563569571577587593599601607613617619631641643647653659661673677683691701709719727733739743751757761769773787797809811821823827829839853857859863877881883887907911919929937941947953967971977983991997 1000-10000以内的质数表 10000以内的质数共有1229个，其中1000-10000以内的质数共有1061个，分别是： 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热门查询数字： 318437885253298272938205981255119337885369984146754509640964506062028102881176837300645329010635325259485766 友情链接 元素周期表 圆周率 单位换算 查天气 拼音字母表 英文缩写大全 免费考试真题 163手游网
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